证明以下数论题若n≡0(mod2),A1,A2,.An和B1,B2,.Bn是模数n的任意两组完全剩余系,证明A1+B1,A2+B2,.An+Bn不是模数n的完全剩余系

求和模2即可
反设A1+B1,A2+B2,.An+Bn是模n的完系,则求和模n=1+2+..+n=n(n+1)/2 (mod n) （等号代表同余）
又Ai和Bi分别是两组完系,所以他们的和模n等于两组完系的和=n(n+1) (mod n)
综合以上两条有n(n+1)/2=n(n+1) (mod n),即n(n+1)/2=0 (mod n) ,容易验证此式与n为偶数矛盾