“向量a,b共线”的充要条件是“存在不全为零的实数m,n,使得ma+nb=0”.这句话怎样理解啊?前面怎样推出后面?后面又怎样推出前面?

只要m，n不为零，不用去想m，n是多少，如果向量a与向量b共线，无论m，n取多少它们都是共线的。定义没那么复杂

不全为零的实数m,n分别乘在上面，意思就是把a、b两个向量分别放大和缩小一下，但是方向不变，
只有他们是共线的向量的情况下，把放大和缩小了的a、b两个向量加在一起，所以总能找到一个缩放比例，使得他们合成在一起等于零，相互是能够抵消的，
如果不共线，那么不论怎么缩放，他们都不能相互抵消的，就不存在这样的实数m、n了。

首先要明白：
共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ使用a=λb
知道了这个定理就好办了.这个定理教科书上有的.、
下面来证明你的问题：
1、若a,b共线,由共线向量定理得存在实数λ使用a=λb
即a-λb=0,于是取m=1 n=λ
即存在不全为零的实数m=1 n=λ,使得ma+nb=0
2、若存在不全为零的实数m,n,使得ma+nb=0
不妨设m≠0,则由ma+nb=0得a=(-n/m)b
由共线向量定理得知a,b共线.