某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该设备；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？

答

（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），
则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n²-98，
获利为：f（n）＞0，∴4n-2n²-98＞0，即n²-20n+49＜0，∴10-

51

＜n＜10+

51

；
又n∈N，∴n=3，4，5，…，17；
∴当n=3时，即第3年开始获利．
（Ⅱ）①年平均收入为：

f(n)

n

＝40−2(n+

49

n

)≤40−4

n• 49 n

＝12（万元）
即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；
②f（n）=-2（n-10）²+102，∴当n=10时，f（n）_max=102；
总收益为110万元，此时n=10；
比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，
故选择第一种方案．
答案解析：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，
获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；
（Ⅱ）计算方案①年平均获利最大时及总收益；方案②总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．
考试点：函数模型的选择与应用．
知识点：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．