双曲线中的中点弦问题

问题描述:

双曲线中的中点弦问题
已知双曲线C:2x^2-y^2=2与点P(1,2).
1) 求过P(1,2)的直线L的斜率k的取值范围,使L与C分别有一个交点、两个交点、没有交点.
2) 是否存在过P点的弦AB,使A、B中点为P?
3) 若Q(1,1),试判断以Q点为中点的弦是否存在.

(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点 当l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得
(2-k²)x²+2(k²-2k)x-k²+4k-6=0
当2-k^2=0,k=-根[2],k=根[2]有一个个交点
Δ=〔2(k^2-2k)〕2-4(2-k^2)(-k^2+4k-6)=16(3-2k)
当Δ=0,k= 3/2方程有一个实根,l与C有一个交点
当Δ>0,即k<3/2 ,方程有两不等实根,l与C有两个交点
当Δ<0,即k> 3/2时,方程无解,l与C无交点 .
(2)k*OP的斜率=-(x^2的系数)/(y^2的系数)=2
求出k=1时满足题意 .
(3)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x1^2-y1^2=2,2x2^2-y2^2=2两式相减得 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1-x2)=y1-y1
即kAB=2
但渐近线斜率为±根2 ,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在 .