已知F1、F2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得|PF2|2|PF1|=8a，则双曲线的离心率的取值范围是_．
问题描述：
已知F1、F2分别为双曲线
−x 2
a 2
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得y 2
b 2
=8a，则双曲线的离心率的取值范围是______． |PF2|2
|PF1|
答
∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|-|PF2|=-2a，∴|PF2|=|PF1|+2a，①又|PF2|2|PF1|=8a，②∴由①②可得，|PF1|=2a，|PF2|=4a．∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即2a+4a≥2c，∴ca≤3，③又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，∴2a+2c＞4a，...