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已知A、B是圆x2+y2=1与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F，使||PE|-|PF||为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

分类: 作业答案 • 2022-05-11 12:21:41

问题描述：

已知A、B是圆x²+y²=1与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F，使||PE|-|PF||为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

答

由已知得A（-1，0）、B（1，0），
设P（x，y），C（x₀，y₀），则D（x₀，-y₀），
由A、C、P三点共线得

y

x+1

＝

y0

x0+1

①…（2分）
由D、B、P三点共线得

y

x−1

＝

−y0

x0−1

②…（4分）
①×②得

y2

x2−1

＝

−

y

20

x

20

−1

③
又 x₀²+y₀²=1，∴y₀²=1-x₀² 代入③得 x²-y²=1，
即点P在双曲线x²-y²=1上，…（10分）
故由双曲线定义知，存在两个定点E（-

2

，0）、
F（

2

，0）（即此双曲线的焦点），使||PE|-|PF||=2
（即此双曲线的实轴长）为定值．　…（13分）