直线与圆的方程(要有详解)

问题描述:

直线与圆的方程(要有详解)
1.三角形的两条边所在直线方程为2x-3y+1=0和x+y=0,点A(1,2)是它的一个顶点,求BC边所在直线方程
2.过点P(4,8)作圆x^2+y^2-2x-4y-20=0的割线,所得弦长为8,求此割线所在直线的方程
3.已知矩形的一条对角线在直线y-√3=0上,矩形的两个顶点为A(2,0)和B(5,√3),求矩形的另一条对角线及各边所在的直线方程

1、题目少条件.
2、已知圆可变为(x-1)^2+(y-2)^2=25
所以圆心Q(1,2),圆半径r=5
因为弦长的一半为8/2=4,运用勾股定理可求出弦心距为
d=√(r^2-4^2)=√(5^2-4^2)=3
它表示圆心Q到割线的距离为3.
(1)如果割线的斜率存在,设其的斜率为k,则直线方程可写为k=(y-8)/(x-4),整理得
kx-y+8-4k=0
依圆心Q(1,2)到割线的距离为3列等式,运用点到直线的距离公式:
|k-2-4k+8|/√(1+k^2)=3
两边平方,解方程得k=3/4
所以割线的方程为3x/4-y+8-3=0即
3x-4y+20=0
(2)如果割线的斜率不存在,即割线的方程为x=4,经验算,圆心到它的距离也是3.
综上所述,割线所在直线的方程为
3x-4y+20=0或 x=4
3、设矩形为ABCD,经验算,点B在直线y-√3=0上,
由两点式可写出直线AB的方程,整理为:y=(√3/3)(x-2),其斜率为k1=√3/3
AD⊥AB,由垂直直线的斜率相乘等于-1得,直线AD的斜率为k2=-√3,
因而由点斜式(斜率为-√3及点A的坐标)可写出直线AD的方程,整理为:y= -√3(x-2)
进而由点斜式(斜率为-√3及点B的坐标)可写出直线BC的方程,整理为:y= -√3(x-6)
将AD的直线方程与对角线y-√3=0联立解得D点坐标为D(1,√3)
再由点斜式(斜率为√3/3及点D的坐标)可写出直线CD的方程,整理为:y= (√3/3)(x+2)
BD的中点即矩形的对角线交点M,运用中点公式可求出M(3,√3)
再运用两点式(A、M的坐标)可写出另一条对角线的直线方程,整理得:y=√3(x-2)
综上所述,
矩形的另一条对角线方程为
y=√3(x-2)
矩形的各边所在的直线方程为
AB:y=(√3/3)(x-2)
BC:y= -√3(x-6)
CD:y=(√3/3)(x+2)
DA:y= -√3(x-2)