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已知椭圆的两焦点为F1（0，-1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线．（1）求椭圆方程；（2）设点P在椭圆上，且|PF1|-|PF2|=1，求tan∠F1PF2的值．

分类: 作业答案 • 2022-05-10 20:02:50

问题描述：

已知椭圆的两焦点为F₁（0，-1）、F₂（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆方程；
（2）设点P在椭圆上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求tan∠F₁PF₂的值．

答

（1）根据题意，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，

a2

c

=4，
∴a²=4，b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程是

y2

4

+

x2

3

=1；
（2）∵P在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
又|PF₁|-|PF₂|=1，∴|PF₁|=

5

2

，|PF₂|=

3

2

，|F₁F₂|=2，
∴cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2×|PF2|×|PF1|

=

3

5

，
∴sin∠F₁PF₂=

4

5

，
∴tan∠F₁PF₂=

sin∠F1PF2

cos∠F1PF2

=

4

3