正五边形内接正方形
问题描述：
正五边形内接正方形
已知正五边形边长n,求其内接正方形最大边长,且正方形至少有一个顶点与正五边形一个定点重合,有公式可以算么?
答
如图
因为正方形至少有个点要在五边形的顶点上,如果有二个点的话那么这个边厂就是五变形的边长了,三个点和四个点都在的话不存在
因此要想内接正方形的边长最长,只能有一个点在正五边形顶点重合
可以这样分析只有当正方形的二个顶点F、G关于五边形的对称轴对称时,这时候会有最大值
如果不是对称的话,那么假如现在图中的这个正方形旋转的话正方形的边就得缩短
下面来证明F点是否能够在BC上,因为如果对称的时候正方形的对角线必须比A到CD的距离要短
先来计算AF的长度
在三角形ABF中,设AB=a,图中我已标出各个角度,利用正弦定理可得
AF/sin108=AB/sin63,
可得AF=AB*sin108/sin63=a*0.9511*/0.8910=1.0675a
则要求的对角线长为1根号2倍的AF=1.414*1.0675a=1.5095a
而点A到对边CD的距离为AM+DN=AE*sin36+DE*sin72=0.5878a+0.9511a=1.5388a
1.5095a<1.5388a
所以点H满足在平面内
因此所求的正方形的面积最大边长为
AF=AB*sin108/sin63=1.0675a
AF约等于五边形边长的1.0675a