几道高中立体几何题,急,
问题描述：
几道高中立体几何题,急,
P是△ABC所在平面α外一点,O是点P在平面α内的射影,若P点到△ABC的三个顶点等距离,那么O点是△ABC的——心,若P点到△ABC的三边等距离,且O点在△ABC内部,那么O点是△ABC的—心?若PA,PB,PC两两互相垂直,那么O点是△ABC的—心?
答
第一问
因为AO=BO=CO 所以设∠OAC=∠OCA=∠1 ∠OAB=∠OBA=∠2 ∠OBC=∠OCB=∠3
∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∠1+∠2+∠3=三角形内角和的一半即90°
所以：∠OAC+∠OAB+∠OCA=90°
则CO延长线垂直AB
其余AO BO 同理
O为垂心
第二问
PO垂直ABC面 PX垂直BC PY垂直AC PZ垂直AB （BC垂直于PO 垂直于PX 就有BC垂直于面POX 以下同理）
则AC垂直于面POY AB垂直于面POZ
即OX垂直BC OY垂直AC OZ 垂直AB
又因为PX=PY=PZ 公用一边PO
则三角形POX POY POZ 全等
OX=OY=OZ
角平分线的点到两边距离相等
所以是角平分线焦点
即内心