极限运算法则和无穷小代换的问题limx->0 (sinx^2/x^2)/[(1-cosx)/(x^2)+(sin/x)]=1/0.5+1=4/3分子和分母分别用等价无穷小带入sin~x,1-cosx~x^2/2分析：不过这明显违背了加减的时候不能用无穷小代换的原则唯一可以解释的就是用到了极限4则运算,把上式看成是3个独利的极限再分别带入无穷小化简结果应该是2/3笔误

正确的。
①极限存在是用其他方法证明得到的，如limsinx/x=1,最初的证明是用面积公式；lim（1+1/n）^n=e用的是夹逼原理。
②极限运算成立的证明时用到了：每一个因式的极限都要存在.
所以这是极限运算成立的充分条件。
这道题每个因式的极限都存在（用①中的证明）。
以上两步足以说明做法的正确
③而等价无穷小只是定义，为了更简洁的说明,而不是用他证明的。所以可以使
用。

加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
举一个例子让你明白：
求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；
而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。
============下面是推导
泰勒公式求极限的原理（x-->0)：
1。求极限F(x)/G(x)（x-->0),
将F(x)，G(x)泰勒展开。
F(x)=ax^n+O(x^(n+1)),G(x)=bx^m+O(x^(m+1)),
其中a，b≠0，O为高阶无穷小符号：|A（x）/B（x）|≤C（在某邻域内），
记：A（x）=O（B（x））。
根据n，m求F(x)/G(x)的极限。
2。若F(x)=f（x）-g（x）
f（x）=a1+a2x+。。。+a(n+1)x^n+O(x^(n+1)），
g（x）=c1+c2x+。。。+c(n+1)x^n+O(x^(n+1)），
找第一个an≠cn。==》F(x)=[a(n+1)-c(n+1)]x^n+o(x^(n+1)），
然后根据1。求F(x)/G(x)的极限。
3。等价无穷小的替换是泰勒展开的特例，即
f（x）=a2x+o(x^2)，
g（x）=c2x+o(x^2)，
使用的条件是：a2≠c2。

我想了一下,他这样做的原因可能是他已经明确分子分母的极限都存在且不为0与无穷.
那么按照极限的运算法则可以分子分母各自极限后相除
分子的情况就确定了.
对于分母求极限时,也比较明显知道两项的极限存在且不为0与无穷
那么同理,运用极限的四则运算,也变成各自极限的和.
我这样写,想必你能明白吧?
不过这只是对于极限能确定的情况才适用.若一个极限分子分母的极限情况不知,那么就不能这样做了,只能用其他方法做
所以这道题没有违背加减的时候不能用无穷小代换的原则