如何证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式关于平面向量的数量积课本上直接给出了这个公式,但我不知道怎么证明它求高手指点,感激不尽!我会追加分的我觉得应该可以证明，只是不知道如何下手从图像（坐标）角度来讲：a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b=x1·x2+y1·y2 是个常数；而 a·b=|a|·|b|cosθ又|a|=根号下[（x1)2+(y1)2],|b|=根号下[（x2)2+(y2)2]cosθ也应该可以用x1,y1,x2,y2来表示（画图象来表示）那么就应该可以证明x1·x2+y1·y2 =|a|·|b|cosθ也就可以证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式了..不知道我的想法是否正确，请指教！！！（并且帮忙解答一下）.我觉得这个公式一定有证明的过程，每个公式都应该有的
如何证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式
关于平面向量的数量积
课本上直接给出了这个公式,但我不知道怎么证明它
求高手指点,感激不尽!
我会追加分的
我觉得应该可以证明，只是不知道如何下手
从图像（坐标）角度来讲：
a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b=x1·x2+y1·y2 是个常数；
而 a·b=|a|·|b|cosθ
又|a|=根号下[（x1)2+(y1)2],|b|=根号下[（x2)2+(y2)2]
cosθ也应该可以用x1,y1,x2,y2来表示（画图象来表示）
那么就应该可以证明x1·x2+y1·y2 =|a|·|b|cosθ
也就可以证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式了
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不知道我的想法是否正确，请指教！！！（并且帮忙解答一下）
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我觉得这个公式一定有证明的过程，每个公式都应该有的
a·b=x1·x2+y1·y2
|a||b|cosθ =|a||b|*(|a|^2+|b|^2-(y1-y2)^2-(x1-x2)^2)/2|a||b|
=(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-x1^2-x2^2-y1^2-y2^2+2*x1x2+2*y1y2)/2
=x1y1+x2y2
得证
就是向量相乘的结果定理吧？
向量相乘，模等于两者模的乘积；
至于角度，相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
这个不用证明的，因为它是一个定义，也就是定义这种算法就叫向量的数量积，至于为什么要这样，那不是一个高中生需要知道的
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|
定义，无法证明。
用图象法证明
A向量的模*cosθ就是他的投影
向量相乘，模等于两者模的乘积；
至于角度，相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|
证出来的都是瞎掰还什么图像法 如果没有点积的定义哪来的什么投影之类的名词
这就是点积的定义 LS和第一楼 第四楼的都是由这个定义给出来的解释
用图象法证明
A向量的模*cosθ就是他的投影
A向量的模*cosθ就是他的投影
向量相乘，模等于两者模的乘积；
至于角度，相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|
数学中定义a点乘b等于a的模乘以b的模再乘以向ab夹角的余弦,这个公式是一个定义式,所以不存在证明.
你给出的证明中"a·b=x1·x2+y1·y2 ",是根据这个定义式推出来的.或者说,这是a点乘b的另一种定义.
你可以想想公式S=VT.路程等于速度乘以时间,这就是定义式一个例子,你能告诉我这个公式怎么证明麽?
这也可证明？？
向量相乘是实数，ab.cosA也是实数！数学界就这样定义的！！
难道还要证明地球为何是圆的吗？？？
公式 a·b=|a|·|b|cosθ 是数学中为内积作的定义,
a·b=x1·x2+y1·y2 是由此推导出来的,需要和差化积公式。
先取 α,β介于0到2π , 分别代表由 x正实轴转到 a,b 向量的夹角。 不妨假设 α>β,(β>α可类似证明)可得到四个三角函数值：
sin α = y1/sqrt(x1^2+y1^2)
cos α = x1/sqrt(x1^2+y1^2)
sin β = y2/sqrt(x2^2+y2^2)
cos β = x2/sqrt(x2^2+y2^2)
其夹角取 θ = α-β ,则 cos θ =cos(α-β) 套用和差化积公式
cos( α-β) = (cos α)*(cos β) + (sin α)*(sin β)
带入后 约去分母，一下便得到结果！
写在纸上一目了然。另外说一下，sqrt 表示取平方根， ^ 也就是键盘 6 上头那个符号，在数学中表示 平方的意思。例如
|a|=根号下[（x1)2+(y1)2]
即可表示为
|a|=sqrt(x1^2+y1^2)
其他类似。
a·b=|a|·|b| cosθ这个公式就相当于把（a,b）的夹角θ控制在0°→180°之间。
即：选其中一个向量方向为正方向，a·b比如说 b方向，画直角坐标系（y，b）则他们的夹角，
0°＜θ≤90°时，cosθ是（+），a·b是（+）
90°＜θ≤180°时，cosθ是（-），a·b（-）
180°＜θ≤270°时，cosθ是（+），a·b（+）
270°＜θ≤270°时，cosθ是（-），a·b（-）
符号完全互补，而|a|·cosθ就是向量a在b方向上的投影（即长度），另外的分量 y*b＝0。
所以，数量积成立，没有错！
公式得证。