设L为椭圆 x^2除以4加上y^2除以3等于1,其周长为a,则曲线积分∮(3x^2+4y^2-2)ds

问题描述:

设L为椭圆 x^2除以4加上y^2除以3等于1,其周长为a,则曲线积分∮(3x^2+4y^2-2)ds

因为椭圆方程为
x^2/4+y^2/3=1
也即3x^2+4y^2=12
则曲线积分∮(3x^2+4y^2-2)ds
=∮(12-2)ds
=10∮ds
=10a这类曲线积分中ds与dx和dy用什么不同,遇到这类题如何下手,是不是针对曲线积分中的ds指的是曲线的周长ds=√[(dx)^2+(dy)^2]=√(1+y'^2)dx=√[1+(1/y')^2]dyds是弧微分,与横坐标的微分dx和纵坐标的微分dy都不同。一般dx和dy这样的坐标积分都比较好解,因为可以把dy换成y'dx的形式,然后只对x进行积分。而弧微分ds也可以通过ds=√(1+y'^2)dx化成只含dx的形式,然后再对x进行积分。你 能对这道题的ds的具体步骤解答一下吗这道题的ds是可以化成dx的,但是这是一个椭圆积分,没有解析解,化出来后也无法直接积出。所以本题才说椭圆的周长是a。我们知道椭圆的面积是πab,但是椭圆的周长却没有解析解,只有近似解。椭圆周长的近似解网上都有,表达式也很多,但只是近似。我说的是针对这道题解题思路是什么,如何将ds进行替换求解,你的解题过程是什么你没有看明白我的意思。这道题本身只能巧解,主要考察对封闭曲线积分几何意义的理解。对曲线积分而言,被积函数上的坐标值必须满足曲线方程,所以才有3x^2+4y^2-2=12-2=10。而∮ds表示对每段微弧进行积分,也就是每段微弧长度相加,自然就表示封闭曲线的周长。3x^2+4y^2=126x+8yy'=0y'=-3x/(4y)ds=√(1+y'^2)dx=√[1+9x^2/(16y^2)]dx=√[1+9x^2/(48-9x^2)]dx=√[1+3x^2/(16-3x^2)]dx如果直接对ds进行替换,得到的是∮(3x^2+4y^2-2)ds=10∮ds=10∮√[1+3x^2/(16-3x^2)]dx=20∫(0,2) √[1+3x^2/(16-3x^2)]dx+20∫(2,0) √[1+3x^2/(16-3x^2)](-dx)=40∫(0,2) √[1+3x^2/(16-3x^2)]dx下面已经积不出来了。