已知α+β=1,αβ=-1.设S1=α+β,S2=α2+β2,S3=α3+β3,…,Sn=αn+βn (1)计算:S1=_,S2=_,S3=_,S4=_; (2)试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系; (3)根据以上得出结论计算:α

问题描述:

已知α+β=1,αβ=-1.设S1=α+β,S222,S333,…,Snnn
(1)计算:S1=______,S2=______,S3=______,S4=______;
(2)试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系;
(3)根据以上得出结论计算:α77

(1)∵α+β=1,αβ=-1.
∴S1=α+β=1.
S222=(α+β)2-2αβ=1+2=3.
S333=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)2-3αβ=1+3=4.
S444=(α222-2α2β2=9-2=7.
故答案为:1,3,4,7;
(2)由(1)得:Sn=Sn-1+Sn-2
证明:∵α,β是方程x2-x-1=0的两根,
∴有:α2=α+1,β2=β+1,
Sn-1+Sn-2n-1n-1n-2n-2
=

αn
α
+
αn
α2
+
βn
β
+
βn
β2

=
αn(1+α)
α2
+
βn(1+β)
β2

nn
=Sn
故Sn=Sn-1+Sn-2
(3)由(2)有:
α77=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29.