已知α+β=1，αβ=-1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn （1）计算：S1=_，S2=_，S3=_，S4=_； （2）试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系； （3）根据以上得出结论计算：α
问题描述：
已知α+β=1，αβ=-1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn
（1）计算：S1=______，S2=______，S3=______，S4=______；
（2）试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α7+β7．
答
（1）∵α+β=1，αβ=-1．
∴S1=α+β=1．
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=1+2=3．
S3=α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=（α+β）2-3αβ=1+3=4．
S4=α4+β4=（α2+β2）2-2α2β2=9-2=7．
故答案为：1，3，4，7；
（2）由（1）得：Sn=Sn-1+Sn-2．
证明：∵α，β是方程x2-x-1=0的两根，
∴有：α2=α+1，β2=β+1，
Sn-1+Sn-2=αn-1+βn-1+αn-2+βn-2
=
+αn α
+αn α2
+βn β
βn β2
=
+
αn(1+α) α2
βn(1+β) β2
=αn+βn
=Sn．
故Sn=Sn-1+Sn-2．
（3）由（2）有：
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29．