设τ是x上的拓扑,A是x的一个子集,规定τ'={A∪U|U∈τ}∪{Φ},证明τ'是x上的拓扑
问题描述：
设τ是x上的拓扑,A是x的一个子集,规定τ'={A∪U|U∈τ}∪{Φ},证明τ'是x上的拓扑
答
由τ是X上的拓扑, 有X ∈ τ, 而A是X的子集, 故X = A∪X ∈ τ'.
又由τ'的定义, ∅ ∈ τ.
对任意U', V' ∈ τ', 存在U, V ∈ τ使得U' = A∪U, V' = A∪V.
由τ是拓扑, 有U∩V ∈ τ, 于是U'∩V' = (A∪U)∩(A∪V) = A∪(U∩V) ∈ τ'.
进而τ'中元素的有限交仍属于τ'.
对任意一族U'[λ] ∈ τ' (λ ∈ 指标集∧), 存在U[λ] ∈ τ使得U'[λ] = A∪U[λ].
由τ是拓扑, 有∪{λ ∈ ∧} U[λ] ∈ τ,
于是∪{λ ∈ ∧} U'[λ] = ∪{λ ∈ ∧} A∪U[λ] = A∪(∪{λ ∈ ∧} U[λ]) ∈ τ'.
即τ'中元素的任意并仍属于τ'.
综上, τ'也是X上的一个拓扑.