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如图所示，设 A，B，C，D是不共面的四点，P，Q，R，S分别是AC，BC，BD，AD的中点，若AB=122，CD=43，且四边形PQRS的面积是123，求异面直线AB和CD所成角的大小．

分类: 作业答案 • 2022-04-25 23:48:23

问题描述：

如图所示，设 A，B，C，D是不共面的四点，P，Q，R，S分别是AC，BC，BD，AD的中点，若AB=12

2

，CD=4

3

，且四边形PQRS的面积是12

3

，求异面直线AB和CD所成角的大小．

答

由题意知SR是△ABD的中位线，
∴SR∥

1

2

AB，SR=

1

2

AB，
同理PQ∥

1

2

AB，PQ=

1

2

AB，
∴SR∥PQ，SR=PQ，
∴四边形SRQP是平行四边形，
∴∠SRQ是要求的异面直线所成的角，
在四边形SRQP中，SR=6

2

，RQ=2

3

四边形PQRS的面积是12

3

，
∴SR上的高为

12

3

6

2

=

6

∴sin∠SRQ=

2

2

∴∠SRQ=45°
∴异面直线AB和CD所成角的大小为45°．