[线性代数]关于特征值,求行列式的值
问题描述：
[线性代数]关于特征值,求行列式的值
设A是三阶方阵,如果已知|E+A|=0,|2E+A|=0,|E-A|=0,求出行列式|E+A+A方|的值.
能否给出求|E+A+A方|特征值的过程.
答
设s是A的特征值,x是A对应于s的特征向量,则
Ax = sx
(E＋A+A^2)x =x+ Ax +A^2x = x+sx + Asx=x + sx + s^2x = (1+s+s^2)x
所以1+s+s^2是E+A+A^2的特征值
由|E+A|=0,|2E+A|=0,|E-A|=0,可以知道A的特征值为1,-1,-2
所以E+A+A^2的对应的特征值为3,1 ,3
所以|E+A+A^2| = 9