已知：x,y为互不相等的正数,试比较X^5+y^5和x^4y+xy^4的大小
问题描述：
已知：x,y为互不相等的正数,试比较X^5+y^5和x^4y+xy^4的大小
答
方法1:
x^5+y^5 - (x^4y+xy^4)
= x^4(x-y) - y^4(x-y)
= (x-y) (x^4-y^4)
=(x-y)^2 (x^2+y^2)(x+y)
因为x y为不等正数
所以上面恒>0
所以第一个大于第二个
方法2:
用排序不等式做
不妨设x>y
因为x,y为正数
所以x^4>y^4
所以正序和大于倒序和
即x^5+y^5>x^4y+xy^4
答
x^5+y^5-x^4y-xy^4=x^4(x-y)-y^4(x-y)=(x-y)(x^4-y^2)=(x-y)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=(x-y)^2(x^2+y^2)(x+y)x>0,y>0,x≠y所以(x-y)^2>0,(x^2+y^2)>0,(x+y)>0所以x^5+y^5-x^4y-xy^4〉0所以x^5+y^5>x^4y+xy^4