设集合A={（x，y）|y2=x+1}，集合B={（x，y）|4x2+2x-2y+5=0}，集合C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A∪B）∩C=∅？证明你的结论．

分类: 作业答案 • 2022-04-22 21:02:33

问题描述：

设集合A={（x，y）|y²=x+1}，集合B={（x，y）|4x²+2x-2y+5=0}，集合C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A∪B）∩C=∅？证明你的结论．

答

∵（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）=φ，
∴A∩C=φ且B∩C=φ，即方程组

y2＝x+1

y＝kx+b

⇒k2x2+(2kb−1)x+b2-1=0…①无解．
当k=0时，方程①有解x=b²-1，与题意不符，
∴k≠0，①无解⇒△₁=（2kb-1）²-4k²（b²-1）＜0⇒b＞

4k2+1

，
∵k∈N，∴b＞1．
由方程组

4x2+2x−2y+5＝0

y＝kx+b

⇒4x2+2（1-k）x+5-2b=0…②无解，即

△2＝4(1−k)2−16(5−2b)＜0

⇒b＜

20−(k−1)2

≤

∴要①、②同时无解，则1＜b≤

，但b∈N
∴b=2，从而可得k=1．
∴存在自然数k=1，b=2，使（A∪B）∩C=φ．