将连续自然数1,2,3,…,n(n≥3)的排列顺序打乱,重新排列成a1,a2,a3,…,an.若(a1-1)(a2-2)(a3-3)…(an-n)恰为奇数,则(  ) A.一定是偶数 B.一定是奇数 C.可能是奇数,也可

问题描述:

将连续自然数1,2,3,…,n(n≥3)的排列顺序打乱,重新排列成a1,a2,a3,…,an.若(a1-1)(a2-2)(a3-3)…(an-n)恰为奇数,则(  )
A. 一定是偶数
B. 一定是奇数
C. 可能是奇数,也可能是偶数
D. 一定是2m-1(m是奇数)

如果n是偶数的话,
在1~n这个数列中偶数的个数和奇数的个数相等,
要保证(a1-1)(a2-2)(a3-3)…(an-n)是奇数,则须保证每一项都为奇数.
因为a1~~an中奇数偶数都相等,
所以完全可能找出一队序列1~~n 使(a1-1)(a2-2)(a3-3)…(an-n)每一项都是奇数,
 如果n是奇数的话,在1~n这个数列中偶数的个数比奇数的个数少一个,
要保证(a1-1)(a2-2)(a3-3)…(an-n)是奇数,则须保证每一项都为奇数.
因为a1~an中奇数比偶数多一个,一定会在(a1-1)(a2-2)(a3-3)…(an-n)中有一个偶数,
因此(a1-1)(a2-2)(a3-3)…(an-n)必为偶数,
所以n必为偶数.
故选A.