自选题:不等式选讲:已知|x1-2|<1,|x2-2|<1. (I)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2; (II)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.
问题描述:
自选题:不等式选讲:已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.
(I)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2;
(II)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.
答
证明:(I)∵|x1-2|<1,∴-1<x1-2<1,即1<x1<3,(2分)
同理1<x2<3,∴2<x1+x2<6,(4分)
∵|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|,
∴|x1-x2|<2;(5分)
(II)|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,(8分)
∵2<x1+x2<6,∴1<x1+x2-1<5,
∴|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|(10分)