设偶函数F(X)=log以A为底|X+b|在（-∞,0）上递增,则(a+1)与F(b+2）的大小关系是?

问题描述：

答

因为函数f(x)=log|x-b|为偶函数，则f(-x)=f(x)
而，f(-x)=log |-x-b|=log |x+b|
所以：log |x-b|=log |x+b|
则，|x-b|=|x+b|
所以，b=0
则，f(x)=log |x|
因为当x∈(-∞，0)时，f(x)=log |x|=log (-x)
其中，y=-x为单调递减
而，已知f(x)在(-∞，0)上单调递增，那么：
0＜a＜1
那么，1＜a+1＜2
而，b+2=2
所以，1＜a+1＜b+2
偶函数f(x)在x∈(-∞，0)单调递减，那么在x∈(0，+∞)单调递增
所以，f(a+1)＜f(b+2)

答

∵y=loga|x+b|是偶函数
∴loga|x+b|=loga|-x+b|
∴|x+b|=|-x+b|
∴x2+2bx+b2=x2-2bx+b2
4bx=0,
由于x不恒为0,b=0
由此函数变为y=loga|x|
当x∈（-∞,0）时,由于内层函数是一个减函数,
又偶函数y=loga|x+b|在区间（-∞,0）上递增
外层函数是减函数,
0＜a＜1
0＜a＜1,b=0
∴a+1＜b+2,
f（x）=loga|x+b|在（-∞,0）上单调递减
∴f（a+1）≥f（b+2）

设偶函数F(X)=log以A为底|X+b|在（-∞,0）上递增,则(a+1)与F(b+2）的大小关系是?

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