已知A={x∈R|x2+2x+p=0}且A∩{x∈R|x>0}=∅,求实数p的取值范围.
问题描述:
已知A={x∈R|x2+2x+p=0}且A∩{x∈R|x>0}=∅,求实数p的取值范围.
答
知识点:本题中易忽略点是对A=∅的讨论,集合运算和集合关系中,由于空集的特殊性,故一定要考虑∅是否满足要求,如果满足要求,则对∅的分类讨论必不可少;另外方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0表示①方程有实根,即△≥0②两根之和大于等于0③两根之积大于等于0.三个条件必须同时满足.
∵A∩{x∈R|x>0}=∅,
∴(1)若A=∅,则△=4-4p<0,得p>1;
(2)若A≠∅,则A={x|x≤0},
即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.
设两根为x1、x2,则
△=4−4p≥0
x1+x2=−2≤0
x1x2=p≥0.
∴0≤p≤1.综上所述,p≥0.
答案解析:A∩{x∈R|x>0}=∅,表示A为空集或A中的元素均小于等于0,即方程x2+2x+p=0无实根,或是方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.根据韦达定理(根与系数的关系),可以构造不等式组,解不等式组,即可得到答案.
考试点:交集及其运算.
知识点:本题中易忽略点是对A=∅的讨论,集合运算和集合关系中,由于空集的特殊性,故一定要考虑∅是否满足要求,如果满足要求,则对∅的分类讨论必不可少;另外方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0表示①方程有实根,即△≥0②两根之和大于等于0③两根之积大于等于0.三个条件必须同时满足.