已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,(a>0,b>0)F1.F2为双曲线的两焦点,点p在双曲线上,求|PF1|*|PF2|的最小值
问题描述：
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,(a>0,b>0)F1.F2为双曲线的两焦点,点p在双曲线上,求|PF1|*|PF2|的最小值
答
双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,(a>0,b>0)
设r1=│PF1│，r2=│PF2│，∠F1PF2=θ,0由余弦定理
（2c)^2=│F1F2│^2=r1^2+r2^2-2r1r2cosθ
4c^2=(r1-r2)^2+2r1r2(1-cosθ)
4c^=4a^2+2r1r2(1-cosθ)
r1r2=b^2/(1-cosθ)
当θ=π时,r1r2最小值=b^2.(实际上,这时点P在x轴上)
答
设角F1PF2=t,则在三角形PF1F2中由余弦定理,得：
PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2*cost=(PF1-PF2)^2+2PF1*PF2(1-cost)=F1F2^2
因为(PF1-PF2)^2=(2a)^2=4a^2,F1F2^2=(2c)^2=4c^2(椭圆的第一定义)
代入上式,得：4a^2+2PF1*PF2(1-cost)=4c^2
即PF1*PF2(1-cost)=2(c^2-a^2)=2b^2
所以PF1*PF2=2b^2/(1-cost)
因为0度