已知抛物线y方=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为____?求个详解
问题描述：
已知抛物线y方=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为____?求个详解
答
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=4,令直线AB的方程为y=kx+b,代入抛物线y2=4x得k2x2+2（kb-2）x+b2=0
故有x1+x2=
-2(kb-2)
k2
,x1x2=
b2
k2
故有
-2(kb-2)
k2
=4,解得b=
2-2k2
k
,即x1x2=
b2
k2
=
4-8k2+4k4
k4
又|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
16-4×4-8k2+4k4k4
=4
1+k2
-1+2k2k4
=4×
2+[-(1k2-12)2+14]
≤4×
94
=6
故|AB|的最大值为6