已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.(1)当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证S△DEF+S△CEF=12S△ABC;(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

问题描述:

已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.

(1)当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证S△DEF+S△CEF=

1
2
S△ABC
(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

(1)显然△AED,△DEF,△ECF,△BDF都为等腰直角三角形,且全等,
则S△DEF+S△CEF=

1
2
S△ABC
(2)图2成立;图3不成立.
图2证明:过点D作DM⊥AC,DN⊥BC,则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°,
又∵∠C=90°,
∴DM∥BC,DN∥AC,
∵D为AB边的中点,
由中位线定理可知:DN=
1
2
AC,MD=
1
2
BC,
∵AC=BC,
∴MD=ND,
∵∠EDF=90°,
∴∠MDE+∠EDN=90°,∠NDF+∠EDN=90°,
∴∠MDE=∠NDF,
在△DME与△DNF中,
∠DME=∠DNF
MD=ND
∠MDE=∠NDF

∴△DME≌△DNF(ASA),
∴S△DME=S△DNF
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF
由以上可知S四边形DMCN=
1
2
S△ABC
∴S△DEF+S△CEF=
1
2
S△ABC
图3不成立,连接DC,
证明:△DEC≌△DBF(ASA,∠DCE=∠DBF=135°)
∴S△DEF=S五边形DBFEC
=S△CFE+S△DBC
=S△CFE+
S△ABC
2

∴S△DEF-S△CFE=
S△ABC
2

故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是:S△DEF-S△CEF=
1
2
S△ABC
答案解析:先作出恰当的辅助线,再利用全等三角形的性质进行解答.
考试点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.

知识点:利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决.