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已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1  (a＞b＞0)的离心率为53，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

分类: 作业答案 • 2022-04-12 08:47:13
问题描述：

已知椭圆C：

x2
a2
+
y2
b2
＝1  (a＞b＞0)的离心率为
 5
3
，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

答

（Ⅰ）由 

5
9
＝e2＝
a2−b2
a2
＝1−
b2
a2
，得 
b
a
＝
2
3
．…（2分）
依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）
所以椭圆C的方程是
x2
9
+
y2
4
＝1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m2+9）y2+16my-20=0．…（7分）
所以 y1+y2＝
−16m
4m2+9
，y1y2＝
−20
4m2+9
．…（8分）
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0．…（9分）
设P（a，0），则有 
y1
x1−a
+
y2
x2−a
＝0．
将 x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得 
2my1y2+(2−a)(y1+y2)
(my1+2−a)(my2+2−a)
＝0，
所以 2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0．…（12分）
将 y1+y2＝
−16m
4m2+9
，y1y2＝
−20
4m2+9
代入上式，整理得 （-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以 a＝
9
2
．
综上，存在定点P(
9
2
，0)，使PM平分∠APB．…（14分）
答案解析：（Ⅰ）利用离心率为
 5
3
，可得
b
a
＝
2
3
，由椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2，可得△MB1B2是等腰直角三角形，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设线AB的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理，结合PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
知识点：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．

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