圆的半径为R,求它的内接正n边形的边心距,边长及面积s[用三角函数及数字字母表示〕边心距是圆心到正多边形一边的距离,并请帮我解释一下为什么．
问题描述：
圆的半径为R,求它的内接正n边形的边心距,边长及面积s[用三角函数及数字字母表示〕
边心距是圆心到正多边形一边的距离,并请帮我解释一下为什么．
答
连结圆心和正n边形的相邻的两个顶点
圆心角=360°/n
过圆心作垂直于边的线段，即把圆心角平分，设为a，所以a=180°/n
设边心距=d，边长=l，面积=s
根据正弦定理得，sin(180°/n)=（1/2)l/r，所以有l=2rsin(180°/n)
根据余弦定理得，cos（180°/n）=d/r，所以有d=rcos(180°/n)
又s=1/2(nld)，所以s=...（代入就可以了）
PS：圆心和正n边形各顶点相连，是把正n边形等分为n个等腰三角形
答
圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径,长度为R.这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形.这样,每个三角形的顶角为2π/n,腰长为R,
设正多边形边长为x,过圆心做等腰三角形底边上的垂线,在分成的一个直角三角形里用三角函数：
sin((2π/n)/2)=(x/2)/R
x=2Rsin(π/n).
设边心距为y,y=Rcos(π/n)
每个等腰三角形的面积=边长×边心距/2
=Rcos(π/n)*2Rsin(π/n)/2
=R*Rsin(π/n)cos(π/n)
=R*Rsin(2π/n)/2
正多边形的面积
=R*Rsin(2π/n)/2 × n
=nR*Rsin(2π/n)/2