求有理函数的积分 ∫1/(4x^2+4x+10)dx我就是不太懂得类似这样的分母怎样分配 可以给我讲一下么
问题描述：
求有理函数的积分 ∫1/(4x^2+4x+10)dx
我就是不太懂得类似这样的分母怎样分配 可以给我讲一下么
答
先分子分母同时除以4,让x^2系数=1,然后对分母进行配方,变形为:(x+1/2)^2+(3/2)^2,然后再分子分母同时除以(3/2)^2,分母就成了:(2x/3+1/3)^2+1,再用凑微分法,将2x/3+1/3视为中间变量,就能求出不定积分了.答案为:1/6arctan(2x+1)/3+C
当然你能记住一些扩大化的积分公式的话(如:∫1/(x^2+a^2)dx等),此题会变得更简单.
答
有两种思路
一种是因式分解,分解之后用减法,分母是两个一次,可以用ln积分
这道题用此法太麻烦
还有种思路是配方法化成(AX+B)^2+C,用arctan等积
此处
4x^2+4x+10=(2x+1)^2+9
原式=1/2*S 1/[(2x+1)^2+9]d(2x+1)
=1/6(arctan[(2x+1)/3]+c