100分求通项公式已知A2=1;A3=3;A4=11递推:An=(n-1)*A(n-1)+(n-2)*A(n-2)求{An}通项公式没有错呀中文描述就是,第n项=(n-1)乘以第n-1项+(n-2)乘以第n-2项比如A4=3*A3+2*A2=11佩服napcat!其实,我正是在推广错置排列的问题上得到这个递推的,不过我算出来的方法数Bn=(n-1)*A(n-1),也就是说题中的An是一个辅助数列.(因为如果第n个人的帽子戴在i头上,而i的帽子没有戴在n的头上时,方法数应该不是A(n-1))前面两种思路(特别是第二种)非常好,第三种中间的容斥定理则更是facinating,不知可否劳驾napcat高手稍微具体地说一下用容斥定律计算错置排列的过程.一定再追加100分.

答案：An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)
一会儿回来提供三种证明思路
思路一：数学归纳法.这个没什么可说.
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n,令 An=n!bn,代入,得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n,b1=0,b2=1/2.
所以,bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=...=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*...*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!,An=n!bn等于上式.
思路三：这个公式是错置排列的公式.所谓错置排列,有一个通俗的说法.n 个人,每人有一顶自己的帽子.An 是他们每个人都戴错帽子的戴法数目.显然 A1=0 （一个人不可能戴错),A2=1.对n>2的情况,第 n 个人的帽子必然戴到 某个第 i 人头上,i=1,2,...,n-1,这有两种情况 1）第i个人的帽子戴到第n个人头上,则其余 n-2 个人要互相戴错,共有 A（n-2)种戴法；
2）另外一个人的帽子戴到第n个人头上,此时共有 A(n-1)种戴法.总之,我们有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)),n>2.而我们可以用容斥原理算出错置排列的数目如上,所以必然有An等于上面的数.

(E*n*Gamma[n] + E*n*Gamma[1 + n] + 3*n*C[2]*Gamma[n]*Gamma[4, -1] +
3*n*C[2]*Gamma[1 + n]*Gamma[4, -1] - 18*C[2]*Gamma[2 + n, -1])/(3*E*n)
Gamma[x]=(x-1)!

你的递推:An=(n-1)*A(n-1)+(n-2)*A(n-2) 打错了吧。

头十七项是
1
1
3
11
53
309
2119
16687
148329
1468457
16019531
190899411
2467007773
34361893981
513137616783
8178130767479
138547156531409
接着溢出了.

佩服

难

1/2!是什么东西?怎么算?

用差分方程解 要真的是100分我就帮你解

一句话：：数学归纳法
不过工夫要硬

An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3！+...+(-1)^n*1/n!)
一会儿回来提供三种证明思路
思路一：数学归纳法。这个没什么可说。
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n, 令 An=n!bn, 代入，得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n, b1=0, b2=1/2.
所以，bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=...=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*...*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3！+...+(-1)^n*1/n!， An=n!bn等于上式。
思路三：这个公式是错置排列的公式。所谓错置排列，有一个通俗的说法。n 个人， 每人有一顶自己的帽子。 An 是他们每个人都戴错帽子的戴法数目。显然 A1=0 （一个人不可能戴错)， A2=1。对n>2的情况，第 n 个人的帽子必然戴到 某个第 i 人头上，i=1，2，..., n-1, 这有两种情况 1）第i个人的帽子戴到第n个人头上，则其余 n-2 个人要互相戴错，共有 A（n-2)种戴法；
2）另外一个人的帽子戴到第n个人头上，此时共有 A(n-1)种戴法。 总之，我们有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)), n>2. 而我们可以用容斥原理算出错置排列的数目如上，所以必然有An等于上面的数

用 数学归纳法