国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元.已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1=170-2x,月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系.(1)直接写出y2与x之间的函数关系式;(2)求月产量x的范围;(3)当月产量x(套)为多少时,这种设备的利润W(万元)最大?最大利润是多少?

问题描述:

国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元.已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1=170-2x,月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系.

(1)直接写出y2与x之间的函数关系式;
(2)求月产量x的范围;
(3)当月产量x(套)为多少时,这种设备的利润W(万元)最大?最大利润是多少?

(1)设函数关系式为y2=kx+b,把坐标(30,1400)(40,1700)代入,

30k+b=1400
40k+b=1700

解得:
k=30
b=500

∴函数关系式y2=30x+500
(2)依题意得:
500+30x≤50x
170−2x≥90

解得:25≤x≤40
(3)∵W=x•y1-y2=x(170-2x)-(500+30x)=-2x2+140x-500
∴W=-2(x-35)2+1950
∵25<35<40,
∴当x=35时,W最大=1950
答:当月产量为35件时,利润最大,最大利润是1950万元.
答案解析:(1)设函数关系式为y2=kx+b,把(30,1400)(40,1700)代入求解即可;
(2)根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元”列出不等式组求解月产量x的范围;
(3)根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量-生产总成本”列出函数关系式求得最大值.
考试点:函数模型的选择与应用.
知识点:本题考查了函数模型的选择与应用、函数关系式及其最大值的求解,同时还有自变量取值范围的求解.