在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列{1an}的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤m15,∀n∈N*恒成立,则正整数m的最小值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6

问题描述:

在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列{

1
an
}的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn
m
15
,∀n∈N*恒成立,则正整数m的最小值为(  )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

∵在等差数列{an}中a2=5,a6=21,
∴公差d=

a6a2
6−2
=4
∴an=5+4(n-2)=4n-3,∴
1
an
=
1
4n−3

∵(S2n+1-Sn)-(S2n+3-Sn+1
=(
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n+1
)-(
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n+3

=
1
an+1
1
a2n+2
1
a2n+3
=
1
4n+1
1
8n+5
1
8n+9

=(
1
8n+2
1
8n+5
)+(
1
8n+2
1
8n+9
)>0,
∴数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)是递减数列,
∴数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)的最大项为S3-S1=
1
5
+
1
9
=
14
45

∴只需
14
45
m
15
,变形可得m≥
14
3

又∵m是正整数,∴m的最小值为5.
故选:C.