在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列{1an}的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤m15,∀n∈N*恒成立,则正整数m的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
问题描述:
在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列{
}的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤1 an
,∀n∈N*恒成立,则正整数m的最小值为( )m 15
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答
∵在等差数列{an}中a2=5,a6=21,
∴公差d=
=4
a6−a2
6−2
∴an=5+4(n-2)=4n-3,∴
=1 an
,1 4n−3
∵(S2n+1-Sn)-(S2n+3-Sn+1)
=(
+1 an+1
+…+1 an+2
)-(1 a2n+1
+1 an+2
+…+1 an+3
)1 a2n+3
=
−1 an+1
−1 a2n+2
=1 a2n+3
−1 4n+1
−1 8n+5
1 8n+9
=(
−1 8n+2
)+(1 8n+5
−1 8n+2
)>0,1 8n+9
∴数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)是递减数列,
∴数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)的最大项为S3-S1=
+1 5
=1 9
14 45
∴只需
≤14 45
,变形可得m≥m 15
,14 3
又∵m是正整数,∴m的最小值为5.
故选:C.