塞瓦定理证明,百度百科上只证明了三线共点的情况,没证明互相平行的情况,谁能帮忙证明下?
问题描述：
塞瓦定理证明,百度百科上只证明了三线共点的情况,没证明互相平行的情况,谁能帮忙证明下?
设X,Y,Z分别是△ABC的BC,CA,AB边或其延长线上的点,且有偶数个点在边的延长线上,且AX,BY,CZ三线共点或互相平行,证明(BX/XC)*(CY/YA)*(AZ/ZB)=1
答
梅涅劳斯定理
证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD ,CE/EA=DC/AG. 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.
证明三
过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC', 所以AD：DB=AA'：BB',BE：EC=BB'：CC',CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FC)×(BD/DA)×(CE/EB)=1
证明四
连接BF. （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1