y^2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,若x+x2=3p,则 |AB|=?直线l交椭圆4x^2+5y^2=80与点M,N,椭圆与y轴的正半轴交于点B,若△BMN的重心在椭圆的右焦点上,则

问题描述:


y^2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,若x+x2=3p,则  |AB|=?

直线l交椭圆4x^2+5y^2=80与点M,N,椭圆与y轴的正半轴交于点B,若△BMN的重心在椭圆的右焦点上,则 l 的方程为?

点P(x,y)在曲线4(x-2)^2+y^2=4上运动,则y/2x的最大值是?

AB=4P
y^2=2px
所以准线x=-p/2
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
A到准线距离=x1-(-p/2)=x1+p/2
B到准线距离=x2+p/2
所以AB=AF+BF=A到准线距离+B到准线距离=x1+x2+p=3p+p=4p
首先要知道三角形的重心坐标公式:
若三角形ABC三个顶点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),
则其重心G((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3);
下面解题:
易得B(0,4),右焦点F(2,0);设点M(x1,y1),点N(x2,y2);
∵F为△BMN的重心,
则:(x1+x2)/3=2,(y1+y2+4)/3=0
∴x1+x2=6,y1+y2=-4;
若直线L的斜率不存在,则其与抛物线的两个交点M,N纵坐标应该是互为相反数的,
而现在y1+y2=-4,所以直线L的斜率必然存在,设直线L的方程为y=kx+b;
y1=kx1+b,y2=kx2+b;
y1+y2=k(x1+x2)+2b
∵x1+x2=6,y1+y2=-4;
∴6k+2b=-4,即:b=-3k-2;
∴直线L:y=kx-3k-2;
与椭圆联列方程组:y=kx-3k-2,x²/20+y²/16=1;
消去y,得关于x的二次方程:(k²+4/5)x²-2k(3k+2)x+9k²+12k-12=0
由韦达定理,x1+x2=2k(3k+2)/(k²+4/5)=6;
解得:k=6/5;
∴直线L:y=6x/5-28/5
2√3/6
最后一个可能是错的
抱歉太困了