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设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线x2=2py（p＞0﹚上的三点，F是其焦点，且x12、x22、x32成等差数列．求证：|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列．

分类: 作业答案 • 2022-04-03 20:38:44
问题描述：

设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线x2=2py（p＞0﹚上的三点，F是其焦点，且x12、x22、x32成等差数列．求证：|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列．

答

证明：∵x12，x22，x32成等差数列，
∴2x22＝x12+x32，
即4py2=2py1+2py3，
∴2y2=y1+y3，则2(y2+

p
2
)＝y1+
p
2
+y3+
p
2
，
由抛物线的定义知：|AF|＝y1+
p
2
，|BF|＝y2+
p
2
，|CF|＝y3+
p
2
，
∴2|BF|=|AF|+|CF|．
即：|AF|、|BF|、|CF|成等差数列．

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