设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是抛物线x2=2py(p>0﹚上的三点,F是其焦点,且x12、x22、x32成等差数列.求证:|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列.

问题描述:

设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是抛物线x2=2py(p>0﹚上的三点,F是其焦点,且x12、x22、x32成等差数列.求证:|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列.

证明:∵x12x22x32成等差数列,
2x22x12+x32
即4py2=2py1+2py3
∴2y2=y1+y3,则2(y2+

p
2
)=y1+
p
2
+y3+
p
2

由抛物线的定义知:|AF|=y1+
p
2
,|BF|=y2+
p
2
,|CF|=y3+
p
2

∴2|BF|=|AF|+|CF|.
即:|AF|、|BF|、|CF|成等差数列.