设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是抛物线x2=2py(p>0﹚上的三点,F是其焦点,且x12、x22、x32成等差数列.求证:|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列.
问题描述:
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是抛物线x2=2py(p>0﹚上的三点,F是其焦点,且x12、x22、x32成等差数列.求证:|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列.
答
证明:∵x12,x22,x32成等差数列,
∴2x22=x12+x32,
即4py2=2py1+2py3,
∴2y2=y1+y3,则2(y2+
)=y1+p 2
+y3+p 2
,p 2
由抛物线的定义知:|AF|=y1+
,|BF|=y2+p 2
,|CF|=y3+p 2
,p 2
∴2|BF|=|AF|+|CF|.
即:|AF|、|BF|、|CF|成等差数列.