已知双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率2√3/3,过A(a,0),B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2,求双曲线的方程
问题描述：
已知双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率2√3/3,过A(a,0),B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2,求双曲线的方程
答
原点到过A.B的直线的距离为 d=ab/√(a²+b²) = ab/c = √3/2,
又 e=c/a = 2√3/3,
解得 b=1,a=√3,c=2,
所以双曲线：x²/3 -y²=1画图，距离就是直角三角形OAB斜边上的高，
斜边是 √(a²+b²)= c
由面积公式： S=ab/2 = cd/2 ， 得 d=ab/c斜边是AB，因为直角边OA=a，OB=b，
所以勾股定理，|AB|=√(a²+b²) ，
又双曲线的定义中 c² =a²+b²， 所以 |AB|=cab/c = √3/2 ，
得 b=√3/2×c/a = √3/2× 2√3/3 = 1，
所以c² =a²+b² =a²+1 ，
联立方程：c/a = 2√3/3，
解得c=2，a=√3