为什么完成一次卡诺循环熵不变

设想有两个热源,一个卡诺循环从第一个热源中抽取一定量的热Q',相应的温度为T和T',则：
现在设想一个任意热机的循环,在系统中从N个热源中交换一系列的热Q1,Q2...QN,并有相应的温度T1,T2,...TN,设系统接受的热为正量,系统放出的热为负量,可以知道：
如果循环向反方向运行,公式依然成立.
求证,我们为有N个热源的卡诺循环中引入一个有任意温度T0的附加热源,如果从T0热源中,通过j次循环,向Tj热源输送热Qj,从定义绝对温度的式中可以得出,从T0热源通过j次循环输送的热为：
现在我们考虑任意热机中N个卡诺循环中的一个循环,在循环过程结束时,在T1,...,TN个热源中,每个热源都没有纯热损失,因为热机抽取的每一份热都被循环过程弥补回来.所以结果是(i)热机作出一定量的功,(ii) 从T0 热源中抽取总量为下式的热：
如果这个热量是正值,这个过程就成为第二类永动机,这是违反热力学第二定律的,所以正如下式所列：
只有当热机是可逆的时,式两边才能相等,上式自变量可以一直重复循环下去.
要注意的是,我们用Tj 代表系统接触的温度,而不是系统本身的温度.如果循环不是可逆的,热量总是从高温向低温处流动.所以：
这里T代表当系统和热源有热接触时系统的温度.
然而,如果循环是可逆的,系统总是趋向平衡,所以系统的温度一定要和它接触的热源一致.在这种情况下,我们可以用T代替所有的Tj,在这种特定情况下,一个可逆循环可以持续输送热,
(可逆循环）
这时,对整个循环进行积分,T是系统所有步骤的温度.
熵的变化值可用可逆过程的热温商值来衡量.