AB都是正交矩阵,证明A+B也是 能不能用这种证明方法
问题描述：
AB都是正交矩阵,证明A+B也是 能不能用这种证明方法
有一个定理是,实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C使得C'AC=I,即A合同于单位矩阵.然后就是由题有C'AC=I ,C'BC=I ,C'(A+B)C=C'AC+C'BC=I ..所以得证 这种方法可以吗?括号里的可以拆开吗?
答
括号里的可以拆开,是矩阵乘法对加法的分配律
但问题出在对A,B的C不一定相同!
用定义证简单.对X≠0,由A,B正定知 X^TAX>0,X^TBX>0.
所以 X^T(A+B)X = X^TAX + X^TBX > 0