求解可降阶的高阶微分方程
问题描述：
求解可降阶的高阶微分方程
(1+x^2)y′′+(y′)^2+1=0
答
令z=y'(1+x^2)z'+z^2+1=0(1+x^2)dz/dx=-(z^2+1)dz/(z^2+1)=-dx/(x^2+1)arctan z=-arctanx+Cz=tan(C-arctanx)y'=(C-x)/(1+Cx)积分1.C=0y=-x^2/2+D2.C不等于0y=积分-1/C+(C+1/C)/(1+Cx)=-x/C+(1+1/C^2)ln|1+Cx|+DC,D为...