古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中

问题描述:

古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是:如图,以

a
2
和b为两直角边作Rt△ABC,再在斜边上截取BD=
a
2
,则AD的长就是所求方程的解.
(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长.
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处.

(1)∵∠C=90°,BC=

a
2
,AC=b,
∴AB=
b2+
a2
4

∴AD=
b2+
a2
4
-
a
2
=
4b2+a2
-a
2

(2)用求根公式求得:x1=
-
4b2+a2
-a
2
x2=
4b2+a2
-a
2
(2分)
正确性:AD的长就是方程的正根.
遗憾之处:图解法不能表示方程的负根.(2分)