古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中
问题描述:
古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是:如图,以
和b为两直角边作Rt△ABC,再在斜边上截取BD=a 2
,则AD的长就是所求方程的解.a 2
(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长.
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处.
答
(1)∵∠C=90°,BC=
,AC=b,a 2
∴AB=
,
b2+
a2 4
∴AD=
-
b2+
a2 4
=a 2
;
-a
4b2+a2
2
(2)用求根公式求得:x1=
;x2=-
-a
4b2+a2
2
(2分)
-a
4b2+a2
2
正确性:AD的长就是方程的正根.
遗憾之处:图解法不能表示方程的负根.(2分)