设x，y∈R，i、j，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j，且|a|+|b|=8． （1）求点M（x，y）的轨迹C的方程； （2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A
问题描述：
设x，y∈R，
| i |
| j |
| a |
| i |
| j |
| b |
| i |
| j |
| a |
| b |
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设
| OP |
| OA |
| OB |
答
=x
+（y+2）
，
=x
+（y-2）
∴|
|=
，|
|=
设F1（0，-2），F2（0，2），动点M（x，y），可得|
|、|
|分别表示点M到F1、F2的距离．
∵|
|+|
|=8，即M到F1、F2的距离之和等于8，
∴点M（x，y）的轨迹C是以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，
可得a=4，c=2，b2=a2-c2=12，
可得椭圆方程为
+
＝1，即为点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）由于直线l过点（0，3），故
①当直线l为y轴时，A、B为椭圆的顶点，可得
=
+
=
此时点P与原点重合，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由
消去y，得（4+3k2）x2+18kx-21=0
此时△=（18k）2-4（4+3k2）•（-21）=576k2+336＞0恒成立
x1+x2=
，代入直线得y1+y2=k（x1+x2）+12=
∵
=
+
，∴四边形OAPB是平行四边形，
若四边形OAPB是菱形，则|
|=|
|
∵
=（x1，y1），
=（x2，y2）
∴x12+y12=x22+y22，化简得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0
可得l的斜率k=
=-
=-
=-
解之得k=0，因此存在直线y=3，使得四边形OAPB为菱形．
（1）∵
| a |
| i |
| j |
| b |
| i |
| j |
∴|
| a |
| x2+(y+2)2 |
| b |
| x2+(y−2)2 |
设F1（0，-2），F2（0，2），动点M（x，y），可得|
| a |
| b |
∵|
| a |
| b |
∴点M（x，y）的轨迹C是以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，
可得a=4，c=2，b2=a2-c2=12，
可得椭圆方程为
| y2 |
| 16 |
| x2 |
| 12 |
（2）由于直线l过点（0，3），故
①当直线l为y轴时，A、B为椭圆的顶点，可得
| OP |
| OA |
| OB |
| 0 |
此时点P与原点重合，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由
|
此时△=（18k）2-4（4+3k2）•（-21）=576k2+336＞0恒成立
x1+x2=
| −18k |
| 4+3k2 |
| 24 |
| 4+3k2 |
∵
| OP |
| OA |
| OB |
若四边形OAPB是菱形，则|
| OA |
| OB |
∵
| OA |
| OB |
∴x12+y12=x22+y22，化简得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0
可得l的斜率k=
| y1−y2 |
| x1−x2 |
| x1+x2 |
| y1+y2 |
| ||
|
| 3k |
| 4 |
解之得k=0，因此存在直线y=3，使得四边形OAPB为菱形．