已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|，那么满足ak+ak+1+…+ak+19=102的正整数k=_．

分类: 作业答案 • 2022-03-27 10:42:37

问题描述：

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，那么满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整数k=______．

答

∵a_n=|n-13|，∴a_n=

13−n n≤13

n−13 n＞13

，
∴当n≤13时，{a_n}的前n项和为S_n=

25n−n2

，
当n＞13时，{a_n}的前n项和为S_n=

(n2−25n+312)
满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整数
而S_k+19=

[(k+19)2−25(k+19)+312]=

（k²+13k+198）
①当k-1≤13时，S_k-1=-

k²+

k-13，
所以S_k+19-S_k-1=

（k²+13k+198）-（-

k²+

k-13）=102，解之得k=2或k=5
②当k-1＞13时，S_k-1=

[(k−1)2−25(k−1)+312]=

（k²-27k+338）
所以S_k+19-S_k-1=

（k²+13k+198）-

（k²-27k+338）=102，解之得k不是整数，舍去
综上所述，满足条件的k=2或5
故答案为：2或5