探索与研究 (方法1)如图: 对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt
问题描述:
探索与研究
(方法1)如图:
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程;
(方法2)如图
是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?
答
(方法1)
S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE
即:b2=
c2+1 2
(b+a)(b−a)1 2
整理:2b2=c2+(b+a)(b-a)
∴a2+b2=c2.
(方法2)
此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°,再向下平移得到.一方面,四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和,另一方面,四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和,所以:
S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD
即:
b2+1 2
ab=1 2
c2+1 2
a(b−a)1 2
整理:b2+ab=c2+a(b-a)
b2+ab=c2+ab-a2
∴a2+b2=c2.