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等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5，则这个等边三角形的边长的平方是_．

分类: 作业答案 • 2022-03-18 17:42:50
问题描述：

等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5，则这个等边三角形的边长的平方是______．

答

设PB=3，PA=4，PC=5，
将△PBC绕B点逆时针旋转60°至△BDA（如图），
∴DB=PB=3，AD=CP=5，△DBP是等边三角形，
∴∠DPB=60°，
在△ADP中，AP2+DP2=42+32=25=AD2，
∴∠APD=90°，
所以∠APB=150°；
作BE⊥AP于E（如图），
则∠BPE=30°，
∴BE=

1
2
BP=
3
2
，
∴PE=
3
2
3
，
∴AE=4+
3
2
3

∴AB2＝BE2+AE2＝(
3
2
)2+(4+
3
2
3
)2=25+12
3
．
故答案为25+12
3
．

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