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已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2．（I）求f（0）的值；（II）求f（x）的最大值；（III）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝−12(an−3)(n∈N*)，求f（a1）+f（a2）+…+f（an）．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 11:05:26
问题描述：

已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2．
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的最大值；
（III）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝−

1
2
(an−3)(n∈N*)，求f（a1）+f（a2）+…+f（an）．

答

（Ⅰ）令x1=x2=0，
由③知f（0）=2f（0）-2⇒f（0）=2；
（Ⅱ）任取x1x2∈[0，1]，且x1＜x2，
则0＜x2-x1≤1，∴f（x2-x1）≥2
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
=f（x2-x1）+f（x1）-2-f（x1）=f（x2-x1）-2≥0
∴f（x2）≥f（x1），则f（x）≤f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由Sn＝−

1
2
(an−3)知，
当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝−
1
2
an+
1
2
an−1
∴an＝
1
3
an−1(n≥2)，又a1＝1，∴an＝
1
3n−1

∴f(an)＝f(
1
3n−1
)＝f(
1
3n
+
1
3n
+
1
3n
)＝f(
2
3n
)+f(
1
3n
)−2
=3f(
1
3n
)−4＝3f(an+1)−4
∴f(an+1)＝
1
3
f(an)+
4
3

∴f(an+1)−2＝
1
3
(f(an)−2)
又f（a1）-2=1∴f(an)−2＝(
1
3
)n−1，∴f(an)＝(
1
3
)n−1+2
∴f(a1)+f(a2)++f(an)＝2n+
3
2
−
1
2×3n−1
.
答案解析：（1）令x1=x2=0，代入f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2，可求出f（0）的值．
（II）任取x1x2∈[0，1]，且x1＜x2，利用③证明f（x2）-f（x1））=f（x2-x1）-2≥0，即 f（x2）≥f（x1），得到f（x）≤f（1）=3．
（III）令n=1，得：a1=1，n≥2，时，由an=sn-sn-1求出通项公式，得到f（an）与f（an-1）的关系，构造一个等比数列，求出f（a1）+f（a2）+…+f（an）的值．
考试点：抽象函数及其应用；数列的求和．
知识点：本题考查抽象函数的性质及应用，前n项和与第n项的关系，构造法进行数列求和．

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