举例说明小学数学概念形成的过程

根据数学概念学习的心理过程及特征,数学概念的教学一般也分为三个阶段：①引入概念,使学生感知概念,形成表象；②通过分析、抽象和概括,使学生理解和明确概念；③通过例题、习题使学生巩固和应用概念.
（一）数学概念的引入
数学概念的引入,是数学概念教学的第一个环节,也是十分重要的环节.概念引入得当,就可以紧紧地围绕课题,充分地激发起学生的兴趣和学习动机,为学生顺利地掌握概念起到奠基作用.
引出新概念的过程,是揭示概念的发生和形成过程,而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同,有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象理想化,经过推理而得；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的结构中构造产生的.因此,教学中必须根据各种概念的产生背景,结合学生的具体情况,适当地选取不同的方式去引入概念.一般来说,数学概念的引入可以采用如下几种方法.
1、以感性材料为基础引入新概念.
用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料,引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念.
例如,要学习“平行线”的概念,可以让学生辨认一些熟悉的实例,像铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边缘等,然后分化出各例的属性,从中找出共同的本质属性.铁轨有属性：是铁制的、可以看成是两条直线、在同一个平面内、两条边可以无限延长、永不相交等.同样可分析出门框和黑板上下边的属性.通过比较可以发现,它们的共同属性是：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点等,最后抽象出本质属性,得到平行线的定义.
以感性材料为基础引入新概念,是用概念形成的方式去进行教学的,因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例,正确引导学生去进行观察和分析,这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性,形成概念.
2、以新、旧概念之间的关系引入新概念.
如果新、旧概念之间存在某种关系,如相容关系、不相容关系等,那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行.
例如,学习“乘法意义”时,可以从“加法意义”来引入.又如,学习“整除”概念时,可以从“除法”中的“除尽”来引入.又如,学习“质因数”可以从“因数”和“质数”这两个概念引入.再如,在学习质数、合数概念时,可用约数概念引入：“请同学们写出数1,2,6,7,8,12,11,15的所有约数.它们各有几个约数?你能给出一个分类标准,把这些数进行分类吗?你能找出多种分类方法吗?你找出的所有分类方法中,哪一种分类方法是最新的分类方法?”
3、以“问题”的形式引入新概念.
以“问题”的形式引入新概念,这也是概念教学中常用的方法.一般来说,用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活中的问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展需要引入概念.
例如,在学习“平均数”时,教师可以先向学生呈现一个“幼儿园小朋友争拿糖果”的生活情境,让学生思考,为什么有的小朋友很高兴,有的小朋友很不高兴?应该怎样做才能使大家都高兴?接下来应该怎么做?这个幼儿园的老师可能会怎么做?
4、从概念的发生过程引入新概念.
数学中有些概念是用发生式定义的,在进行这类概念的教学时,可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程.例如,小数、分数等概念都可以这样引入.这种方法生动直观,体现了运动变化的观点和思想,同时,引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性.
（二）数学概念的形成
引入概念,仅是概念教学的第一步,要使学生获得概念,还必须引导学生准确地理解概念,明确概念的内涵与外延,正确表述概念的本质属性.为此,教学中可采用一些具有针对性的方法.
1、对比与类比.
对比概念,可以找出概念间的差异,类比概念,可以发现概念间的相同或相似之处.例如,学习“整除”概念时,可以与“除法”中的“除尽”概念进行对比,去比较发现两者的不同点.用对比或类比讲述新概念,一定要突出新、旧概念的差异,明确新概念的内涵,防止旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响.
2、恰当运用反例.
概念教学中,除了从正面去揭示概念的内涵外,还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性,尤其是让学生通过对比正例与反例的差异,对自己出现的错误进行反思,更利于强化学生对概念本质属性的理解.
用反例去突出概念的本质属性,实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解.凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念的外延集,而反例的构造,就是让学生找出不属于概念外延集的对象,显然,这是概念教学中的一种重要手段.但必须注意,所选的反例应当恰当,防止过难、过偏,造成学生的注意力分散,而达不到突出概念本质属性的目的.
3、合理运用变式.
依靠感性材料理解概念,往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性,或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征,容易形成干扰的信息,而削弱学生对概念本质属性的正确理解.因此,在教学中应注意运用变式,从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性.一般来说,变式包括图形变式、式子变式和字母变式等.