已知数列{an}an≥0,a1=0,a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2,记Sn=a1+a2+...+an,Tn=i/(1+a1)+1/(1+a1)(1+a2)+…+1/(1+a1)(1+a2)…(1+an),当n是正整数时,求证,

1,
a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2
有a(n+1)^2+a(n+1)-2=an^2-1
即(a(n+1)-1)(a(n+1)+2)=(an-1)(an+1)
由于an≥0,所以,a(n+1)-1与an-1同号
又因为a1=0使得a1-1所以对任意n∈N,均有,an-1an所以an^2=a(n+1)^2+a(n+1)-1因为an≥0,所以两边开平方有
an2,证明
由于an^2+an-1=a(n-1)^2
a(n-1)^2+a(n-1)-1=a(n-2)^2
……
a(2)^2+a(2)-1=a(1)^2
两边分别相加得
an^2+Sn-a1-(n-1)=a(1)^2
由于a1=0,an所以,Sn=a(1)^2+a1+(n-1)-an^2=n-1-an^2n-2
3,
由于a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2
有a(n+1)^2+a(n+1)-3/4=an^2+1/4
即(a(n+1)-1/2)(a(n+1)+3/2)=an^2+1/4>0恒成立
由于对任意正整数n,an≥0
所以,当正整数n>1时,an>1/2
又因为a1=0
所以,
1/(1+a1)=1
1/(1+a1)(1+a2)1/(1+a1)(1+a2)(1+a3)……
1/(1+a1)(1+a2)…(1+an)左右两边各累加可得,
Tn=1/(1+a1)+1/(1+a1)(1+a2)+…+1/(1+a1)(1+a2)…(1+an)