已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=22，求m的值，并求出此时方程的两根．

分类: 作业答案 • 2022-03-12 09:24:57

问题描述：

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且|x₁-x₂|=2

，求m的值，并求出此时方程的两根．

答

（1）证明：∵△=（m+3）²-4（m+1）…1分
=（m+1）²+4…3分
∵无论m取何值，（m+1）²+4恒大于0
∴原方程总有两个不相等的实数根…4分
（2）∵x₁，x₂是原方程的两根
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1…5分
∵|x₁-x₂|=2

∴（x₁-x₂）²=（2

）²
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8…7分
∴[-（m+3）]²-4（m+1）=8∴m²+2m-3=0…9分
   解得：m₁=-3，m₂=1…10分
   当m=-3时，原方程化为：x²-2=0
             解得：x₁=

，x₂=-

…11分
当m=1时，原方程化为：x²+4x+2=0
解得：x₁=-2+

，x₂=-2-

…12分

已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根： （2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=22，求m的值，并求出此时方程的两根．