设X,Y为拓扑空间,证明若X可嵌入Y,则X的任一子空间A也可嵌入Y

设X到Y的嵌入映射是f,意思就是f是连续的单射,而且对X的任何开子集U,都存在Y的开子集V,使得f(U)等于f(X)交V.这里V可以随U而变.
只要证明f（限制到A上）也是从A到Y的嵌入映射就行了.它自然也是连续的单射.对于A的任何开子集W,它都可以写成U交A,其中U是X的某个开子集.那么因为f在X上是单射,所以f(W)就是f(U)交f(A)（假如f不是单射,那f(W)可能比f(U)交f(A)要小）,而f(U)是f(X)交上Y的某个开子集V,所以f(W)就是f(A)交f(X)再交上Y,也就是f(A)交Y.这里U随W而变,V又随U而变.