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若数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1−an（n∈N+），则可得该数列的前2011项的乘积a1•a2•a3…a2010•a2011=_．

分类: 作业答案 • 2022-03-07 12:36:47

问题描述：

若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=

1+an

1−an

（n∈N⁺），则可得该数列的前2011项的乘积a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=______．

答

由递推关系式，得an+2＝

1+an+1

1−an+1

=

1+

1+an

1−an

1−

1+an

1−an

=−

1

an

，
则an+4＝−

1

an+2

=−

1

−

1

an

＝an．
∴{a_n}是以4为循环的一个数列．
由计算，得a₁=2，a2＝−3，a3＝−

1

2

，a4＝

1

3

，a₅=2，…
∴a₁a₂a₃a₄=1，
∴a₁•a₂…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=1×a₂₀₀₉•a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=a₁•a₂•a₃=3．
故答案是3